गौस की प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए | सूत्र, अनुप्रयोग और उदाहरण

गौस की प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए | सूत्र, अनुप्रयोग | Class 12 Physics Chapter 1

गौस की प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए | Class 12 Physics Chapter 1 Notes

गौस की प्रमेय (Gauss Theorem) कक्षा 12 भौतिक विज्ञान अध्याय 1 का अत्यंत महत्वपूर्ण टॉपिक है। यह स्थिर वैद्युतिकी में विद्युत क्षेत्र की गणना को सरल बनाती है।

गौस की प्रमेय का कथन

किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस पृष्ठ के भीतर स्थित कुल आवेश का 1/ε₀ गुना होता है।

सूत्र:

Φ_E = q / ε₀

• Φ_E = विद्युत फ्लक्स
• q = कुल आवेश
• ε₀ = निर्वात की विद्युतशीलता

समाकलन रूप

∮ E · dA = q / ε₀

यह दर्शाता है कि बंद पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र का सतही समाकलन कुल आवेश पर निर्भर करता है।

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

1. गॉसियन पृष्ठ

वह काल्पनिक बंद पृष्ठ जिसका उपयोग गौस की प्रमेय में किया जाता है।

2. घनकोण (Solid Angle)

गोले के केंद्र पर किसी सतह द्वारा अंतरित कोण को घनकोण कहते हैं। पूर्ण गोले के लिए इसका मान 4π स्टेरेडियन होता है।

गौस की प्रमेय की सिद्धि

मान लीजिए एक बिंदु आवेश +q किसी बंद पृष्ठ के भीतर स्थित है। कूलॉम के नियम के अनुसार दूरी r पर विद्युत क्षेत्र होगा:

E = (1 / 4π ε₀) × (q / r²)

छोटे क्षेत्रफल dA से गुजरने वाला फ्लक्स:

dΦ = E dA cosθ

पूरे पृष्ठ पर समाकलन करने पर:

Φ = q / ε₀

अतः गौस की प्रमेय सिद्ध हुई।

गौस की प्रमेय के अनुप्रयोग

1. अनंत लंबा समान आवेशित सीधा तार

E = λ / (2π ε₀ r)

2. अनंत समान आवेशित समतल चादर

E = σ / (2 ε₀)

3. समान आवेशित पतला गोलकीय कोश

• कोश के बाहर (r > R): E = (1 / 4π ε₀) × (q / r²)
• कोश की सतह पर (r = R): E = (1 / 4π ε₀) × (q / R²)
• कोश के अंदर (r < R): E = 0

परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्न

• गौस की प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए।
• गौस के नियम की सहायता से अनंत तार के कारण विद्युत क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
• गोलकीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य क्यों होता है?

निष्कर्ष

गौस की प्रमेय स्थिर वैद्युतिकी का एक महत्वपूर्ण नियम है जो सममितीय परिस्थितियों में विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने को सरल बनाता है। यह बोर्ड परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण टॉपिक है।